了解北美的數學競賽
文 | Superkids教育與家教中心 蔡宜哲
有一些國際知名的項目可用於評估學生的各項能力，例如：國際學生評測項目（PISA）及國際數學及科學趨勢研究（TIMSS）。
PISA是國際經濟合作組織（OECD）內的一個項目，目的是給全世界15歲年齡學生的技能與知識評測提供政策導向性及國際性的指標（http://www.pisa.gc.ca/eng/home.shtml）。在該項目下，對學生的閱讀、數學與科學三個主要領域進行評測。而TIMSS則是對4年級與8年級學生評測數學與科學的程度。從這兩個評測項目，我們看到數學與科學是各類學生評測共同關注的領域。因此，作為這篇文章的目的，我將關注學生在數學方面的問題，並對北美的數學競賽做個綜合評述。
全世界有許多種類的數學競賽，參加競賽的人也來自各行各業。然而，總的說來，參加數學競賽的學生有兩大類。第一類學生，他們不知道自己的數學程度如何，想要通過競賽了解自己在全國範圍的排名；第二類學生是真正有數學天分的，參加各類數學競賽，可滿足馬斯洛五大需求層次理論中對應他們的「被尊重需求」，如果他們在數學競賽中取得好的成績，會給他們的學校成績單添彩，對他們以後申請CEGEP及大學時拿出優秀的個人簡歷資料很有幫助。
在過去幾十年中，那些競賽的題型主要都是「文字應用題」（word problems），即多項選擇或問題填空。然而，近年來我們發現競賽題型有向「情境式狀態問題」（situational problems）轉移的趨勢。例如，一個題目通常要測試綜合概念，必須寫出1～5頁解答問題的推理陳述，而不是簡單地選擇答案A, B, C 或D。魁北克教育部也已順應這個趨勢，對整個數學教學課程進行了改革。
那麼，甚麼是數學的「情境式狀態問題」，與文字應用題有甚麼不同呢？
魁北克教育大綱對情境式問題的描述是：「具達成目的之必須的特點。該目標並非能一蹴而就，因為這不是一項實用應用程序的練習。」這是一個人在某一情境下尋求達到目標，而與此相關的一些適合的行動過程，並非能立即明確地顯露出來（伯恩斯，2000）。對於那些問題，通常有多種途徑去獲得正確的答案。而且，有些情況下，一個問題可能有多個正確解答。
另一方面，一個文字題要求學生們專注於計算方法和過程本身的意義。問題被轉譯成數學語句，學生按這個數學語句進行運算。通常只有一個正確的方法去獲得答案，也總是只有一個正確答案（伯恩斯，2000）。
從下圖中，你能對區域性及國際性的數學競賽有個大致了解：
在加拿大，滑鐵盧大學數學及計算教育中心（CEMC）設立了許多種類的競賽（http://www.cemc.uwaterloo.ca）。其中最普及的有：Gauss I（7年級）、Gauss II（8年級）、Pascal（9年級或以下）、Cayley（10年級或以下）和Fermat（11年級或以下）。這些競賽都鼓勵學生們鍛練自己的解題能力。這些競賽題要求在60分鐘時間內解答25個多項選擇題，總計150分。第二組競賽包括：Fryer（9年級或以下）、Galois（10年級或以下）和Hypatia（11年級或以下）。班級中只有排名在前25%的學生才受到教師的推薦參加這些競賽。這些競賽要求在75分鐘時間裡解答4道問題，要求寫出全部解題過程，滿分40分。最後一組競賽是：Euclid（12年級，cegep或以下），要求在2個半小時內解答10道問題，滿分100分。以往的全部競賽題可以在他們的網站下載，供學生練習(http://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/past_contests.html)。
在參加Caley和Fermat競賽的選手中，排名在前25%的人獲邀參加數學奧林匹克夏令營（MOSP），這是一個為期3～4星期的強化訓練夏令營。隨後，頂尖的學生將被選拔參加加拿大數學奧林匹克競賽（CMO）。
參加數學競賽的另一個途徑是通過加拿大永明金融集團及許多加拿大的大學為19歲及以下的全日制學生主辦的一個年度加拿大公開數學挑戰賽（COMC）。該挑戰賽要求在2個半小時裡解答12個問題，滿分為100分（http://cms.math.ca/Competitions/COMC /2012/）。競賽成績的前50名學生將被邀請參加加拿大數學奧林匹克競賽（CMO）。
在美國，美國數學協會（http://amc.maa.org/）舉辦的美國數學競賽（AMC）有3種：AMC8（8年級學生）要求在40分鐘內解答25個問題；AMC10（10年級或以下）及AMC12（12年級或以下），要求在75分鐘內解答25個多項選擇題。AMC10排名在前1%，以及AMC12排名在前5%的參賽選手，將獲邀參加美國數學邀請賽（AIME），在3小時內，解答15個極難的問題。成績頂尖的選手隨後被選拔參加美國數學奧林匹克競賽（USAMO）。這項競賽難度更高，有6個問題以及9個小時的文章寫作和證明測驗，整個競賽歷時2天。
從以上分析你可以看到，初級的競賽主要都是多項選擇題，文字題；而隨著競賽的全球化程度越高，情境化問題的分量就越多。你可能也注意到，缺少提供給低年級學生的競賽。幸運的是，魁北克學術成就基金會（QFAA，一個聯邦註冊的非盈利機構）主辦分別針對小學2年級學生到中學5年級學生年的度數學競賽。
那麼，參加這類競賽的弊端是甚麼呢？哈佛著名教育家Tony Wager博士曾指出，許多國家極力推動學生們為參加這類競賽進行訓練。Wager博士說，不幸的是，這將導致那些以競賽為目的當教育目標的國家喪失了他們的全球競爭優勢，因為這些競賽只能培養很有限的生存技能，見Dr. Wager所寫的學生謀生七大技能（http://www.tonywagner.com/7-survival-skills）。
競賽會幫助學生的評論性思考能力、解題能力及分析信息的能力可能會得到提升，但可能缺乏好奇心和創造力。競賽只能作為一種給有才能和有天分的學生，或是班級裡在高於平均水平學生們的一項工具，幫助他們了解自己的水平並計劃未來的職業生涯。
這樣說來，那些競賽就不是適用於任何人的，而且如果不小心的話，可能造成傷害性的後果。反過來說，學生們了解自己與同學相比的數學真實水平後，他們就能知道自己是否真正適合學習某一特定專業課程，比如商業、科學或工程學。
